设V是数域P上n（＞0)维线性空间，则对任何m≥n，在V中存在向量α₁，α2，...，α_m使得其中任意n个均为V的基.

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设V为数域P上的n维线性空间，且V=L（α₁，α₂，...α_n)，（1)证明{α₁，α₁+α₂，..
设V为数域P上的n维线性空间，且V=L(α₁，α₂，...α_n)，
(1)证明{α₁，α₁+α₂，...，α₁+α₂+...+α_n}是V的一组基:
(2)若a∈V在基{α₁，α₂，...α_n}下的坐标为(n，n-1，...，2，1),求α在基{α₁，α₁+α₂，...，α₁+α₂+...+α_n}下的坐标

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设V₁，V₂为数域F上n维线性空间V的两个子空间，且dimV₁=dimV₂，证明:存在子空间W，使V=V₁⊕W=V₂⊕W.

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W是数域P上线性空间V的子空间称dimV-dimW为W的余维数，记为codimW.试证，若.codimW＞0则有余维数为1的子空间Wi，使得


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设A，B为数域P上的m×n与n×s矩阵，又W={Bα|ABα=0,α为P的s维列向量，即α∈P^s×1是n维列向量空间P^n×1的子空间，证明:dimW=r（B)-r（AB)。

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设a₁，a₂，...，a_i是数域D上线性空间V中一线性无关向量组，讨论向量组α₁+α₂，α₂+α₃，...，α_n+α₁的线性相关性.

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设A是数域P上n阶方阵.1)征明R（A^k)-R（A^k+1)≥R（A^k+1)-R（A^k+2)≥0;2)若R（A^k)=R（A^k+1)，证明R（A^k)=R（A^k+s)，s∈N（自然数集)。

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求下列线性空间的一组基与维数.1)p^nxn中全体对称（反对称，上三角)矩阵对矩阵的加法，矩阵
求下列线性空间的一组基与维数.
1)p^nxn中全体对称(反对称，上三角)矩阵对矩阵的加法，矩阵与数的乘法:
2)全体正实数R+={a∈Ra＞o)加法与纯量积定义为

3)A∈R^nxn,C(A)为所有与

的可换的n阶方阵集，对矩阵的加法及矩阵与数的乘法:
4)

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设α₁,α₂,..α_n是P上线性空间V₁的一组基，β₁，β₂，...β_n是P压线性空间V₂中n个向量.试证:存在唯一的V₁，到V₂的同态满足f(α_i)=β_i，1≤i≤n

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设V₁，V₂都是P上线性空间。又α₁，α₂，...，αn与β₁，β₂，...，βm分别为V₁与V₂的基，f是V₁到V₂的同态，A∈P^m×n满足



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若则V对于通常的加法和数乘，在复数域C上是____维 的，而在实数域R上是 维的
若

则V对于通常的加法和数乘，在复数域C上是____维 的，而在实数域R上是 维的

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v为P上线性空间，试证k（α-β)=kα-kβ;（-k)（α-β)=kβ-kα.

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