设V₁,V₂,.，V_s为V的子空间，W=V₁+V₂+...+V_s为直和当且仅当V_i∩（V₁+V₂+..+V_i-1)={0},2≤i≤s

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设V₁，V₂为数域F上n维线性空间V的两个子空间，且dimV₁=dimV₂，证明:存在子空间W，使V=V₁⊕W=V₂⊕W.

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设V₁，V₂是V的子空间，且证明:dmV₁-dimV₂的充分必要条件是V₁=V₂
设V₁，V₂是V的子空间，且
证明:dmV₁-dimV₂的充分必要条件是V₁=V₂

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设W是线性空间V的子空间，为α模W的同余类。试证α1∈当且仅当存在β∈W使得α₁=α+β注:由此，将记作
设W是线性空间V的子空间，为α模W的同余类。试证α1∈当且仅当存在β∈W使得
α₁=α+β
注:由此，将记作α +W={α+β|β∈W}并称为α关于W的陪集(或傍集)

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设V₁，V₂都是P上线性空间。又α₁，α₂，...，αn与β₁，β₂，...，βm分别为V₁与V₂的基，f是V₁到V₂的同态，A∈P^m×n满足



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设α₁,α₂,..α_n是P上线性空间V₁的一组基，β₁，β₂，...β_n是P压线性空间V₂中n个向量.试证:存在唯一的V₁，到V₂的同态满足f(α_i)=β_i，1≤i≤n

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W是数域P上线性空间V的子空间称dimV-dimW为W的余维数，记为codimW.试证，若.codimW＞0则有余维数为1的子空间Wi，使得


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设A，B为数域P上的m×n与n×s矩阵，又W={Bα|ABα=0,α为P的s维列向量，即α∈P^s×1是n维列向量空间P^n×1的子空间，证明:dimW=r（B)-r（AB)。

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设W₁，W₂，...，W_s是V的子空间，α∈V.则

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设W₁，W₂是V的子空间.又α, β∈V使得α +W₁=β+ W₂，则W₁ = W₂

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有九个城市v1，v2，…，v8，V9，其公路网如图11－11所示，弧旁数字是该公路的长度。有一批货物从v1运到V
有九个城市v1，v2，…，v8，V9，其公路网如图11-11所示，弧旁数字是该公路的长度。有一批货物从v1运到V9，问走哪条路最短？


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题9-15图所示质量为100kg的车在光滑的直线轨道上以v₁=1m/s的速度匀速运动。今有一质量为50kg的人从高处跳到车上，其速度为v₂=2m/s,与水平面成60°角。随后此人又从车上向后跳下，他跳离车子后相对于车子的速度为v=1m/s，方向与水平面成30°角，试求人跳离车子后的车速。


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