令F是一个含pⁿ个元的有限域。证明,对于n的每一个因数m＞0，存在并且只存在F的一个有pⁿ个元的子域L.

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令E是域F的一个有限扩域。那么总存在E的有限个元a₁，a₂，...，a_n使E=F（a₁，a₂，...，a_n)

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令F,I 和E是三个域并且.假定，（I:F)=m而E的元a在F上的次数是n,并且（m,n)=1.证明，α在I上的次数也
令F,I 和E是三个域并且.
假定，
(I:F)=m
而E的元a在F上的次数是n,并且(m,n)=1.
证明，α在I上的次数也是n.

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证明: F（s)的一切添加s的有限子集于F所得子域的并集`F是一个域。

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假定F是一个有4个元的域。证明:（a)F的特征是2多（b)F的≠0或1的两个元都适合方程x²=x+1。

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F={所有实数，（a,b是有理数)} .证明，F对于普通加法和乘法来说是一个域。
F={所有实数，(a,b是有理数)} .证明，F对于普通加法和乘法来说是一个域。

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一个群G的可以写成a^-1b^-1ab形式的元叫作换位子。证明;（i)所有有限个换位子的乘积作
一个群G的可以写成a^-1b^-1ab形式的元叫作换位子。证明;
(i)所有有限个换位子的乘积作成的集合C是G的一个不变子样;
(ii)G/C是交换群;
(iii)若N是G的一个不变子群，并且G/N是交换群，那么


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令域F的特征是p,f（x)是F上一个不可约多项式，并且f（x)可以写成F上但不能与成的多项式（e≥1). 证
令域F的特征是p,f(x)是F上一个不可约多项式，并且f(x)可以写成F上但不能与成的多项式(e≥1). 证明：f(x)的每一个根的重复度都是

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令P是一个特征为素数p的域，F=P（a)是P的一个单扩域，而a是P[x]的多项式x^P-a的一个根。P（a)是不是x^p-a在P上的分裂域？

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找一个域F，使F有一个有限扩域E而E不是F的单扩域。

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证明，一个域F是它自己的商域.

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证明，一个至少有两个元而且没有零因子的有限环R是一个除环。

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