假定G是一个阶是偶数的有限群。在G里阶等于2的元的个数一定是奇数.
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第1题

假定H是群G的一个非空子集并且H的每一个元的阶都有限，证明，H作成一个子群的充要条件是:

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第2题

假定a和b是一个群G的两个元，并且ab=ba又假定a的阶是m,b的阶是n，并且（m,n)=1.证明:ab的阶是mn.

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第3题

假定群G的不变子群N的阶是2.证明，G的中心包含N.

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第4题

假定G和`G是两个有限循环群，它们的阶各是m和n.证明，G与`G同态，当而且只当n|m的时候.

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第5题

假定a生成一个阶是n的循环群G.证明:a'也生成G,假如（r，n)=1（这就是说r和n互素)。

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第6题

假定在两个群G和`G的一个同态映射之下，a→`a. a与`a的阶是不是一定相同？

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第7题

在一个有限群里，一阶大于2的元的个数一定是偶数。

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第8题

一个有限群的每一个元的阶都有限。

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第9题

假定群G与群`G同态，`N是`G的一个不变子群，N是`N的逆象。证明，G/N≌`G/`N.

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第10题

一个群G的可以写成a^-1b^-1ab形式的元叫作换位子。证明;（i)所有有限个换位子的乘积作
一个群G的可以写成a^-1b^-1ab形式的元叫作换位子。证明;
(i)所有有限个换位子的乘积作成的集合C是G的一个不变子样;
(ii)G/C是交换群;
(iii)若N是G的一个不变子群，并且G/N是交换群，那么